Menü

Esen Yayınları Çözümleri
Üç Dört Beş Kitapları
YGS Matematik
LYS Matematik
GEOMETRİ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
EĞLENCELİ MATEMATİK
MATEMATİK-GEOMETRİ SUNULARI
OLİMPİYAT KÖŞESİ
FOTOĞRAF GALERİSİ
DOĞADAKİ MATEMATİK VE GEOMETRİ
ÖSS, YGS, LYS SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
Dökümanlar
LYS _ LGS Bilgiler
ÖZEL SORULAR
MATEMATİK PROGRAMLARI
YAZILILAR
ÇIKMIŞ SORULAR
Üç Dört Beş Kitapları
Karekök Çüzümleri
Eksen Yayıncılık Matematik Çözümleri
Üçrenk Çözümleri
Acil Matematik Çözümleri
Supara Yayınları
Endemik Yayınları
Bilgi Sarmal Yayınları
__________________________
Doğadaki Matematik-Geometri e-Posta

________________________________________

DOĞADA SONSUZLUK VE MATEMATİKSEL KAVRAMLAR

Doğada “sonsuz” yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. O zaman doğada sonsuz yoktur...

Doğada matematiksel bir "nokta" yoktur. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. İşte nokta diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurmasıdır.

Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz düz çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her düz çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.

Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589... diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır. Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159=314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?

Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur! Öyle değil mi? Bu düşünceler kesinlikle bir kenara atılabilecek düşünceler değiller. Hatta daha bariz bir örnek verelim; Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin her birini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza kadar yapabiliriz. Sonsuza kadar olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böyle böyle, bir atomun, bir elektronun, bir kuarkın ve birçok atom altı parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Fiziksel uzayda en küçük zaman aralığı en küçük uzaklık gibi kavramlar vardır. Bir zaman sonra, fizik, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşma içinde değildir(gerçekten öyle midir, irdeleyelim bakalım ne çıkıcak...)

Matematiğin doğada olup olmadığını bir kenara bırakalım şimdi. Matematiksel kavramların doğada olup olmadığına bakalım.

Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar (doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa ) vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok(olan var mı?). Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile.

Bu var olan kavramlar yoktan mı var olmuştur? İnsanların Yoktan hiçbir şeyi var edemeyeceğini biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan var olmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin var olabileceğini düşünmek olur. Her düşünce ürününde olduğu gibi matematiğin kaynağı da dış dünyadır. Matematikçinin kendinden bağımsızdır.

Bir de şöyle bir soru soralım; Matematik tamamıyla doğadan bağımsız mıdır?

Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz göz önüne alınınca, matematiğin tamamıyla doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, tanımlayabildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösteriyor. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki “bir” kavramıyla uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor, benim bu yazıyı buraya yazmam ve sizin de okumanız sağlanıyor... Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu düşünce hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor.

Şimdi en başa geri dönelim. Yukarıdaki, “doğada bir elma yoktur” düşüncesini ele alalım. “Doğa” sözcüğü çok kısıtlı bir anlamda anlaşıldığında bu düşünce doğru olabilir. Doğada bir değil, birçok elmanın olduğu ve hatta her elmanın her an değiştiği, elmayla ortam arasındaki sınırın tam olarak bilinemeyeceği savunulabilir. Dolayısıyla, “bir elma” yoktur denilebilir. Ancak bu doğa anlayışını kabul ettiğimizde, doğa, parçalara ayrılamayan, durmadan değişen, bir türlü gözlemlenemeyen ve kavranamayan, elle tutulmaz, dille anlatılmaz, yazıyla tanımlanamaz bir bütün olur. Hatta böyle bir doğa anlayışından doğada, doğanın kendisinden başka hiçbir şeyin olmadığı sonucu çıkabilir. Eğer doğa gerçekten anlaşılamayan bir bütünse, o zaman bir sorun yok. Ama öyle değil. Barajlarla selleri, paratonerlerle yıldırımları önlüyoruz. Yerçekimini yeterince anlamış olmalıyız ki, uçaklar, jetler, füzeler yapıp yerçekimine karşı gelebiliyoruz. Dünyanın çekim kuvvetini bile yenip ondan ayrılabiliyoruz. Önceden tahmin edilemez diye bakılan depremleri bile tahmin edebilecek duruma geldik. Dolayısıyla bu doğa anlayışı pek doğru olmamalı. Doğayı anlamak demek, doğanın bütün sırlarına erişmek demek olmamalı. Her ne denli doğa hâlâ daha gizemliyse de, doğayı biraz olsun kavrayabiliyoruz. Matematik, doğayı anlamamızı sağlıyor. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır değil mi?

Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız, değildir. Doğanın bize sezdirdikleri de vardır. Örneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama doğru kavramı doğada vardır ve doğa bize doğru kavramı sezdirtir. Upuzun bir ağaç, denizle gökyüzünü ayıran çizgi, güneş ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hücreleri matematiksel altıgeni, gece gördüğümüz yıldızlar matematiksel noktayı, ay, güneş ve gezegenler matematiksel çemberi ve küreyi fısıldarlar. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldar. Geçen günler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaçlar, bir bitkinin yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz insanlardan bağımsız vardır.

Doğada “işte!” diye gösterebileceğimiz bir “bir” olmayabilir. Ama doğa bize “bir” kavramını fısıldar. Avustralya ve Afrika’nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kültürüyle tanışmamış olmalarına karşın, 1’i, 2’yi 3’ü bulmuşlardır. Demek ki doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa özgü değildir, her uygarlık duyabilir.

Arı peteğinin her hücresi kusursuz bir altıgen olmayabilir. Ama arı, peteğinin hücresini yaparken hücrenin altıgen olmasına çalışır. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmayabilir, ama sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Sonsuz küçük sayılar fiziksel olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada düşünce/fısıltı olarak vardırlar, örneğin durmadan küçülen ama hiçbir zaman sıfır olmayan 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... dizisi bize sonsuz küçüğü anlatır.

Nokta, doğru, çember, pi, 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanıyor, ancak modern matematiğin(soyut matematiğin, sonsuz kavramının) doğada bulunduğuna inanmıyor olabilirsin. Ona da şöyle bakalım.

Modern matematik, matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, var oluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.

Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük kavramı, sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar kavramından polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar. Uzaklık kavramından topolojik uzay kavramı doğar.

Son olarak olayı şöyle düşünelim; diyelim ilkel bir toplum 20’ye değin saymasını biliyor ve 20’den büyük sayılar için “çok” terimini kullanıyor. Bu ilkel toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz olmamalı. 20’ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20’ye değin sayabilen bir toplumun 21’i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel zaman git zaman 21’i, 22’yi, 23’ü öğrenecek, hatta “artı 1” kavramına ulaşacaktır. Arkası kendiliğinden gelir. “Artı 1” kavramına ulaşan bir toplum kolaylıkla evrendeki “parçacık” sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa evrende böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama “artı 1” soyutlaması bu sayıyı “yaratır”. Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan “sonsuz” kavramına varmak zor değildir. Yani bakınca sonsuz kavramına ulaşmak için “artı 1” kavramını bilmek yeterli öyle değil mi?

Sonuç olarak sonsuzluk kavramı da, tıpkı nokta gibi, doğru gibi, eğri gibi, 1 gibi, 2 gibi, pi gibi doğada vardır. Matematiğin bize sunduğu bu soyut kavramlarda, doğanın bize sunduğu en basit matematiksel kavramlardan ortaya çıkmışlardır



 

DOĞADAKİ GEOMETRİK DÜZEN

Mühendislik, Geometri ve Zaman Uzmanı Örümcekler

Bir örümcek tamamen simetrik bir yapıya sahip olan ağını 25 dakika gibi kısa bir sürede nasıl inşa edebilir? Öreceği ağın “Y” şeklinde olması gerektiğini bilmesi mümkün müdür? Uçan böcekleri avlarken örümcek ağlarının şekli neden önemlidir?

Örümcekler, doğada etkileyici güzellikte sarmal şekiller yapan canlı gruplarından biridir. Kara omurgasızları arasında böceklerden sonra gelen en büyük canlı grubu olan bu etobur canlıların çoğu böceklerle beslendiğinden, ağ kurarak böcek yakalama konusunda uzmanlaşmışlardır. Örümceklerin hiçbir canlının yapamadığı bu zor işlemi kolaylıkla yapabilmeleri ise ağın hammaddesi olan ipeğin yapısına ve ağlardaki özel geometrik düzene bağlıdır.

Peki örümcekler bu kusursuz yapıdaki ağlarını hangi aşamalarla örerler?

Yarım Saat İçinde Ortaya Çıkan Muazzam Yapı

Çoğu örümcek birkaç telden oluşan ve özel bir şekle sahip olan üç boyutlu ağlar yaparken bazı örümcek türleri de eşit açılı sarmal şekilde ağlar örerler. Özellikle “Eriopharo”, “Araneus Diadematus” ve “Eperia” gibi bahçe örümceği türlerinin ağlarındaki eğriler ve dairesel kavisler incelendiğinde bunların eşit açılı sarmal şekli oluşturan eğriler olduğu görülmüştür. Bu örümceklerin sarmal ağ örme yöntemleri birbirleriyle aynıdır. Bilim adamları bu örümceklerin sarmal şeklindeki bir ağı nasıl kurduklarını görmek ve kullandıkları örme yöntemini ortaya çıkarmak için pek çok araştırma ve deneyler yapmışlardır. Bu araştırmalardan biri de, 25-30 dakika içinde sarmal bir ağ ören ve “Araneus Diadematus” adı verilen örümcek hakkındadır. Araştırmacılar bu örümceği doğal ortamında inceleyerek, ağını kurarken yapmış olduğu hareketleri gözlemlemişlerdir. Ortaya çıkan sonuç ise oldukça dikkat çekiciydi.

Planlanmış Olan Aşamalar Nasıl Gerçekleşiyor?

Bu örümceğin ağ kurarken nasıl hareket ettiğini şöyle özetleyebiliriz;

  • örümcek ilk olarak arka kısımlarından bir ipek lif salarak bunun rüzgarda uçuşup herhangi bir yere takılmasını bekler. Bu, ipek lif köprü görevi gören bir hat oluşturur. Bu yolla örümcek herhangi bir akıntıya ya da bir engele karşı bile ağ yapabilmektedir. 

  • Örümcek daha sonra normal olarak dikey doğrultuda bitkilerin arasına ya da toprağa iner ve ipek teli bir “Y” şekli oluşturacak biçimde sabitleştirir. Ortaya çıkan bu “Y” şekli ağın temelidir ve ağın merkezi “Y”nin üç kolunun birleştiği yerde olacaktır. 

  • Daha sonra sırayı, her biri merkeze tutturulmuş kendi radyal (merkezden dışa doğru) tellerine sahip olan dış çerçeve telleri alır. Kimi zaman ağını sağlamlaştırmak içinse ek çerçeve ve destek telleri üretebilir. 

  • Örümcek kalan yarıçapları doldurmak için devam eder. Bu yarıçaplar her zaman, ilk yarıçapın bitişiğinde sabit bir açı ile döşenir. 

  • Merkez üzerinde bir-iki fazla dönüşten sonra, örümcek çerçeve yönünde hareket ederek geçici sarmala başlar. Bu işi tamamladığında geri dönüp içeri doğru ilerlerken, geçici sarmalı yarıçaplar arasında geçiş için kullanarak yapışkan olan kalıcı sarmalı döşer. 

  • En son olarak önceden örmüş olduğu geçici sarmal ipeği yer. Kalıcı sarmalın sargıları daha sonra eşit aralıklarla bölünür.(Bilim ve Teknik Ansiklopedisi, Görsel Yayıncılık, Cilt 5, s. 1093)Bu aşamalar sonucunda da örümcek ağı inşa edilmiş olur.



Ağın Özel Geometrik Şekli Avlanmayı Nasıl Kolaylaştırıyor?

Bu örümcekler, ipek tellerini çerçevenin kesişen kenarlarına keskin açılarla döşer ve örümceğin avlanma alanı bu yolla belirlenir. Dolayısıyla bu örümceklerin ağlarını incelediğimizde ağın merkezinden çevredeki dallara ya da yeşilliklere bağlanmış olan her ipliğin, üzerinden geçtiği her sarmal eğri ile yaptığı açının “sabit” olduğu görülmektedir. Bahçe örümceklerinin ağlarında gözlemlenen bu özel geometrik düzen, örümceğe avlanmak için büyük bir avantaj sağlar. Sarmal eğrilerden meydana gelen bu ağlar, görünmezlik ve geniş yakalama alanının eşsiz bir kombinasyonu olduğundan, uçan böcekleri yakalamada çok etkilidir. Ağı oluşturan sarmal eğriler merkezden çevreye doğru sürekli büyümelerine rağmen, ağın genel görünümünde hiçbir değişiklik meydana gelmez. Bu nedenle ağdaki her sarmal eğri, ağın boşlukta kapladığı alanı sürekli olarak sabit bir oranda genişlettiğinden ortaya çıkan şekil, uçan bir böceğin yakalanması için kullanılabilecek en mükemmel yapıdır. Bahçe örümceklerinin ağ yapılarıyla ilgili bilimsel bir kaynakta, bu ağların böcekleri yakalamada çok etkili olduğu ve bunun da ağın sarmal yapısından kaynaklandığı şöyle açıklanır:

“Küre ağ (eşit açılı sarmal özellik gösteren ağlara küre ağ da denmektedir) tam anlamıyla uçan böcekleri yakalamak üzere hazırlanmıştır. Ağa temel oluşturacak birkaç liften yapılmış bir çerçeve, çok daha sağlam başka liflerle bitkilere tutturulur ve radyal düzenli lifler çerçeveye çaprazlama bağlanır. %30’luk bir esneme payına sahip tutunma ipeğinden yapılır. Dayanıklılıkları ve ‘esneklikleri’, ağır uçan böceklerin çarpmalarına ya da rüzgara karşı koyabilmesini sağlar. Bunlar, birbirine çok yakın aralıklara bölünmüş, sinekleri yakalayan yapışkan bir iplik spiralini (sarmalını) taşırlar.” (Bilim ve Teknik Ansiklopedisi, Görsel Yayınları, Cilt 5, s. 1091-1092)


Bu makale, İlmi Araştırma Dergisi 29. sayı (Kasım 2006) 18. sayfada yayınlanmıştır.

 

 


Doğaya Farklı Bir Bakış:

Fraktal Geometri



Tam küre şeklinde bir elma ya da bulut, tam koni şeklinde bir dağ, gövdesi silindir şeklinde bir ağaç, bir hat boyunca ilerleyen yıldırım ya da tepsi gibi düz bir ova hiçbir zaman olmadı. Doğayı anlayabilmek için yeni bir geometriye ihtiyaç var...
Matematiğin önemli bir kolu olarak Geometri, insanoğlunun doğayı nasıl algıladığı ile yakından ilişkilidir. Algılama biçimleri geliştikçe, daha ileri geometrik yaklaşımlar ortaya konmuştur. Bir mağara duvarına çizilen resimler bile belli bir Geometrik yaklaşımı yansıtmaktadır. Diğer bir deyişle mağara duvarına resim yapan kişi, örneğin bir boğayı en azından belli bir oranda küçülterek çizmesi gerektiğini bilmektedir. 
Yerleşik hayata geçilmesiyle geometrinin önemi ve geometriye duyulan gereksinim daha da artmıştır. Tarihte Mısırlılar ve Babilliler geometriye önemli katkılar yapmışlardır. Eski Mısır’da Nil Nehri’nde meydana gelen periyodik taşkınlar tarla sınırlarını ortadan kaldırıyordu. Durum normale döndükten sonra tarla sınırlarının yeniden belirlenmesi gerekmekteydi. Mısırlılar bu sorunun üstesinden geometri bilgisini kullanarak gelmeyi başardı. Diğer taraftan Mısır matematiğine ilişkin araştırmalar, Mısırlılar’ın hem küre yüzeyini hem de kesik piramidin hacmini bildiklerini göstermektedir. Babilliler ise arazi ölçümü yapabiliyor ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu. 

Euclides Geometrisi’nin Pabucu Dama mı Atılıyor?
Euclides Geometrisi, 2000 yıldan fazla bir zamandır hakimiyetini sürdürmektedir. Bu klasik geometri anlayışında doğada karşımıza çıkan şekiller; doğrular ve düzlemler, daireler ve küreler, üçgenler ve koniklerden ibarettir. Bu şekiller, gerçeğin güçlü bir soyutlamasından ibarettir. Doğada var olan karmaşık yapıyı anlamak ve modelleyebilmek için yukarıda bahsedilen soyut şekillerin yeterli olmadığı artık bilinen bir gerçektir. 
Yakından incelendiğinde doğadaki nesnelerin Euclides geometrisindeki şekillere hiç benzemediği görülecektir. Tam küre şeklinde olan bir tane bile elma ya da bulut bulunamaz ya da tam koni şeklinde olan bir dağ hiçbir zaman yeryüzünde olmadı. Benzer şekilde doğada gövdesi silindir şeklinde olan bir ağaca, bir hat boyunca ilerleyen yıldırıma ya da tepsi gibi düz bir ovaya rastlanamaz. Özetle, doğayı daha iyi anlayabilmek ve modelleyebilmek için yeni bir geometriye gereksinim vardır.

Fraktal Geometri Yeni Kapılar Açıyor
Yukarıda sözü edilen yeni geometrinin adı “Fraktal Geometri”dir. Bu isim Fransız bilimadamı Benoit Mandelbrot tarafından verilmiştir. “Fraktal” kelimesi Latince “fraktus (kırık taş)” kelimesinden türetilmiştir. Fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak ya da düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş, düğümlenmiş vb. şekillerden oluşan bir evrendir. Bu evren Euclid geometrisinin tasvir ettiği türden sıkıcı ve tekdüze bir evren değildir; tersine gözlemciye her ölçekte ayrı bir dünyanın kapılarını aralar. Fraktal bir nesneye bakan gözlemci, matematikteki “Sonsuz” kavramının nasıl somuta dönüştüğüne tanık olur. 

Türkiye Sahillerinin Uzunluğu Tam Olarak Ölçülebilir mi?
Fraktal bir şeklin neye benzediğini daha iyi anlayabilmek için Mandelbrot’un İngiltere sahilleri için sorduğu soruyu biz Türkiye sahilleri için sorarak başlayalım: “Türkiye sahillerinin toplam uzunluğu nedir?” Mandelbrot’un iddiasına göre, her sahil bir bakıma sonsuz uzunluktadır. Diğer bir deyişle, sorunun cevabı, kullanılan cetvelin uzunluğuna bağlıdır. Örneğin, açıklığı bir metre olan bir pergel ile Türkiye sahillerinin uzunluğu ölçüldüğünde, bulunan değer yaklaşık bir tahminden ibaret olacaktır. Çünkü pergel bir metrenin altındaki girinti ve çıkıntıların üzerinden atlayacaktır. Pergel açıklığı yarım metreye indiğinde, bu uzunluk ölçeğindeki ayrıntılar da hesaba katılmış olacaktır. Dolayısı ile daha hassas bir ölçüm için her seferinde pergel açıklığını biraz daha küçültmemiz gerekecektir. Sonuçta bulmuş olduğumuz sahil uzunluğu, kullanılan uzunluk ölçeğine bağlı olacaktır. Örneğin bir uydudan ölçülen Türkiye sahillerinin uzunluğu, bütün koyları ve burunları adımlayarak ölçüm yapan bir gözlemcinin bulduğu uzunluktan daha küçük bir değer olacaktır. 
Eğer sahil Euclides geometrisindeki şekillerden birine örneğin, bir daireye benzeseydi, gittikçe küçülen pergel açıklıklarıyla yapılan ölçümler sonuçta belli bir değere yakınsardı. Ancak Fraktal yaklaşıma göre, ölçek küçüldükçe bulunan sahil uzunluğu sürekli olarak artacak; körfez ve yarımadalardan daha küçük körfezcikler ve yarımadacıklar ortaya çıkacak ve bu işlem ancak atom boyutuna ulaşıldıktan sonra sona erecektir, çünkü sahillerin yapısında Fraktallik mevcuttur.

 


Bal Peteğindeki Matematik

 

* Altıgenin, eşkenar üçgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları…

* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, açık ucunu kapatmak için kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?
Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm’dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.
Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3'te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4).Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.
Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı.
Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.
Araştırmacılar, Toth’un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth’un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü.

 


 

 

Matematik Ve Doğa

Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız değildir. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Sabun köpüğü
bir küre olmaya çalışır. Rakamları hangi sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar. Bu yüzden doğada her yerde şablonlar vardır.

Kısacası,

1)Matematik doğanın dilidir.
2)Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabilir.

İşte bunlara örnekler.

Atmosferik basınç ve pi Sayısı

Atmosferik basınç sayısı P= 0,101325 dir. Pi sayısını atmosferik basıncı kullanarak da yaklaşık olarak bulabiliriz. Yani

1/(p^2)= 3,14153

Bir Sığırın Canlı Ağırlığı

Bir sığırın canlı ağırlığını bulmak için, göğüs çevresinin karesi ile vücut uzunluğu ve 87,5 kat sayısı çarpılır.

P= (c^2).h.87,5

(C: Göğüs çevresi, h: vucut uzunluğu, p: sığırın canlı ağırlığı.)

Çır Çır Böceği İle Hava Sıcaklığı Arasındaki İlişki

Çır çır böceğinin sesleri ile hava sıcaklığı arasında bir ilişki vardır. Dolayısıyla hava sıcaklığını aşağıdaki formül ile fahranayt cinsinden bulabiliriz.

T= 0,3.N+40

(T: hava sıcaklığı, N: çırçır böceğinin bir dakikada çıkardığı ses sayısı)

Filin Yüksekliği ve Pi Sayısı

Bir filin ayağı daire şeklindedir ve ayağının çapını ölçüp 2.pi ile çarptığınızda filin yüksekliğini bulabiliriz.

DOĞADAN MATEMATİK ESİNTİLER

 

Birçok insan için matematik; ezberlenmesi gereken birtakım kurallar ve bu kurallara bağlı olarak art arda yapılan işlemler demektir. Matematik deyince, çoğumuzun aklına sadece sınıf geçmek için gerekli olan, bunun dışında en güzel yıllarımızda bize kâbus yaşatmış bir ders gelir.

Matematiğin zevkli, heyecan verici esrarengiz yönlerini tanımak, çevremizdeki, doğadaki matematiksel yapıyı görmek; resim, müzik, heykel ve mimarlık gibi güzel sanatlarla olan ilgisini bilmek ve bunu hissetmek bir ayrıcalıktır.

Matematiğe bir de bu açıdan bakmak herkes için özellikle gençlerimiz için çok şeyin değişmesine, güzelleşmesine ve anlam kazanmasına sebep olabilecektir. Bilginin coşkun mutluluğuna ulaşmak için matematik en emin ve kısa yoldur.

Matematik Antik Yunanca “matesis” (ben bilirim) kelimesinden türetilmiştir.

İnsanların matematikle, bilimle uğraşmaya başlamasının temelinde yatan içgüdü; insanların doğayı ve doğa olaylarını tanımak, doğa olaylarını önceden kestirebilmek, önceden anlayabilmek ve diğer insanlara karşı bir üstünlük sağlama arzusudur.

Dünyanın tepsi gibi düz olduğunun okullarda okutulduğu yıllarda dünyanın eğik olması gerektiğini düşünen ve yerkürenin eğimini hesaplayan Knidoslu Eudoxus bir gün başını göğe kaldırıp arkadaşlarına “Şu güneşin yapısını, şeklini ve büyüklüğünü tam olarak kavrayabileceğimi bilsem yanına gidip yanmaya razı olurdum.” der.

T. Pappas’ın “Yaşayan Matematik” isimli kitabının ön sözünde şunlar yazılıdır: Matematikten duyulan zevk bir şeyi keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz şeyleri gördüğünüz andaki kadar heyecan vericidir.


2. MATEMATİĞE GENEL BAKIŞ

 

Birçok insan için matematik, hayatını zehir eden derslerden, içine korku salan sınavlardan ve sınıfı geçer geçmez kurtulacağı bir kâbustan ibarettir. Bazıları içinse matematik, hayatı anlamanın ve sevmenin bir yolu olabilmiştir. Çünkü sevmenin yolu her şeyde olduğu gibi, burada da anlamaktan geçer. Ancak anlayabildiğimiz şeyleri severiz.

 

Matematik, yaratıcının doğanın içine bıraktığı ipuçlarıdır. Bunlar, bakar bakmaz görülemeyecek kadar saklı ve karmaşık, ama insan beyninin çabalarıyla ulaşabileceği kadar yakın. Mutlak doğru, kesin ve değişmez, ama yalın, güzel ve ahenkli. Tanrı sanki evreni yaratırken koyacağı kuralların yalnızca doğru çalışmasıyla yetinmemiş, bu kurallara insan ruhunu yüceltecek güzellikler katmak istemiş. Galileo “İnsana bu mükemmel beyni veren tanrının, insanın bu beyni kullanmasını istemediğine inanmıyorum.” derken işte doğanın sırlarında saklı olan bu güzelliklere ulaşma heyecanını dile getiriyordu.

 

Matematiğin tarihi, insanlık tarihi kadar eskidir. Matematiğin ilk eylemi sayı saymaktır. Bazı ilkel kültürlerde belki sayılara gerek yoktu. Ama zamanla insanlar çoklukları ayrıntılı bilme ihtiyacı duydular ve saymaya parmaklarını kullanarak başladılar. Yazıyı kullanmaya başlayan ilk topluluklar alfabelerinde sayıyı kullanmışlardır. En güzel örneği de eski Çin ideogramlarında vardır. Anlamı “erkek” olan şekilden üç tane olunca anlam “herkes”, “ağaç” anlamındaki şekilden üç tane varsa anlam “orman”, “kadın” demek olan ideogramdan üç tane olduğu zaman da anlam “dedikodu” olarak değişiyor. Eski Mısırlılar da hiyerogliflerinde benzer bir alfabe kullanmışlardır.

 

Dünyaya nasıl baktığımız, etrafımızda neler gördüğümüz, gördüğümüz şeylerin bize neler düşündürdüğü tamamen daha önce ne öğrendiğimize bağlıdır. Yani, matematikçi tanımıyla, görebildiğimiz dünya eski bilginlerimizin bir fonksiyonudur. Bir ayçiçeği tarlasına bile bakmanın çeşitleri var. Aynı tarlanın önünden geçenlerin bir kısmı hiçbir şey görmeden geçip gider. Kimine göre çiçek, kimine göre para, kimine göre ise çok güzel bir tablodur. Bu çiçeklere bakmanın başka bir yolu daha var oysa. Her birinin ortasında bin tane çiçek. Her biri bir tohum olacak ve her biri tohuma gebe yeni bir çiçeğe gebe. Bu çiçeklerden oluşmuş koskoca bir tarla. İşte bu sıfırdan sonsuza ulaşan bir zincir.

 


2.1. Sonsuzluk

 

Galiba insanların böyle bir sonsuzluk duygusu, sonsuzluğa karşı bir özlemi var. Gideremedikleri bir özlem. Matematikte bu özleme çok yaklaşabildiğimiz anlar oluyor gerçekten. Matematikte bir sonsuzluk kavramı var ama geri kalan, insana ait, dünyaya ait her şey de sonlu. Yani en başta insan hayatı sonlu tabiî. İnsanoğlu sonsuz kavramına ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durumlarla yaklaşabiliyor. Sonsuz denince akla, bu kavramı sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatçısı Escher geliyor. Birbirini çizen eller, birbirine dönüşen varlıklar ve içine girdiğiniz zaman sonsuza kadar çıkamayacağınız resimler .

 

2.2. Dairenin gizemi

 

Gök cisimleri genellikle küre biçiminde ve hep hareket hâlindedir. Biz ise onları iki boyutlu biçimleriyle algılıyoruz. Daire: Bu belki de insanoğlunun doğada gözlemlediği ve içinde bir sır olduğunu düşündüğü ilk geometrik şekil. İnsanlar muhtemelen güneşe, mehtaba bakıyorlar ve bu mükemmel şekli kendileri de çizmek, anlamak, gizemine ulaşmak istiyorlardı. Fakat her daire çizişlerinde dairenin içinden bir sır onlara göz kırpıyordu. Bu sır dairenin çevresi ile çapı arasında sabit bir oranın olmasıydı. Birçok bilim adamı bu oranı buldu ama yüzyıllarca bu oranı sayılara dökemediler. Zaten karşılarına böyle bir sayı çıkana kadar da böyle bir şey düşünmelerine gerek yoktu. Böyle bir sayıyı ilk kez Pisagor ve arkadaşları bulunca kızılca kıyamet koptu. Bu sistem dışı, akla aykırı sayılara “irrasyonel” sayılar dediler. İşte yukarıda adı geçen oran pi sayısıdır ve akla aykırı sayıdır. Pi sayısının ondalık açılımındaki sayı gruplarının hiçbiri tekrar etmez ve bu sayılar âdeta rasgele birbiri arkasından sonsuza değin gider. (Hacısalihoğlu [WEB], 2001).

 

2.3. Spiraller, Helisler, Elipsler....

 

Bir deniz minaresine baktığınız zaman gördüğünüz şekil genellikle bir spiraldir. Spiral, Arşimed’in zevk için çalıştığı geometrik şekillerden biridir. Helis, sarmaşık bitkisinin ağaca tırmanırken çizdiği eğridir. Bu eğri bir yüksekliği en kısa mesafede tırmanma problemini çözer. Bunun içindir ki Mimar Sinan Edirne’deki Selimiye Camii’nin üç merdivenli minarelerinde helis eğrisinin en güzel uygulamalarından birini göstermiştir. Minareler hem üçer şerefeli, hem de olabildiğince ince olacaktı. Ayrı merdivenleri kullanan kişiler de birbirini görmeyecekti. Bunu ancak mükemmel matematik bilgisi ile mimarî dehasını birleştirebilen Koca Sinan yapabilirdi. Böyle bir projeyi düşünmek bile cüret isterdi. İşte o da Sinan gibilerle sıradan olanlar arasındaki fark....(Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, 1996)

 

2.4. Sayı Dizileri

 

Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmenin nedeni bence evreni izah etme kaygısı değil. Ama bu bilgilerle daha sonra doğaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde zaten var olduğunu görüyoruz. Ünlü matematikçilerden Fibonacci, doğadaki matematiği açıklayan bir sayı dizisi bulmuş. Kimileri bu sayı dizisini Fibonacci sayıları olarak da adlandırıyor. Bu dizi de tıpkı diğerleri gibi doğaya bakmanın yollarından biri. Dizi şöyle başlıyor: 1,1,2,3,5,8,13..... gibi. Kuralı görebildiyseniz bu diziyi istediğiniz kadar ilerletebilirsiniz. Peki, birçok çiçeğin taç yapraklarının bu diziye göre sıralandığını biliyor muydunuz? Örneğin, normal büyüklükteki bir papatyada genellikle 13 ya da 21 taç yaprağı vardır. Eğer papatya falına bakmayı seviyorsanız “seviyor” ile başlamanızı tavsiye ederim. Ama elinizdeki daha büyük bir papatya ise muhtemelen 34 yapraklıdır, saymaya “sevmiyor” ile başlamalısınız. Benzer şekilde meyveleri ya da sebzeleri ortadan ikiye böldüğünüzde, birçoğunun içindeki boşlukların sayısının bir Fibonacci sayısı kadar olduğunu görürsünüz.

 

Göze daha net gözükeni “dal” problemi. Her farklı nesilde kaç tane dal olduğunu sayarsanız birçok bitkide yine aynı sayı dizisi karşınıza çıkar: Birinci yıl 1, ikinci yıl 1, ertesi yıllar 2,3,5,8,13,21,34,.... diye gider.

 

Daha önce hiç ayçiçeğinin üzerindeki spiralleri saymış mıydınız? Bir ayçiçeğinde saat yönündeki spirallerin sayısı 55, ters yöndekilerin sayısıysa 34 veya 89’dur. Kozalakta bu oran 5’e 8’dir ki bu da iki ardışık Fibonacci sayısıdır. Tütünde de 5 turda 3 yaprak, 8 turda 5 yaprak veren filizler vardır.

 

2.5. Müzik

 

Sadece düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceği hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. Çoğu kez utandıkları için soramayan ve bir an gelip de sabırlarının taştığını anlayan öğrenciler “bu ne işe yarar” diye sorarlar. O anda onlara verilebilecek cevabın olması bir, olmaması da bir diğer problemdir. Çünkü matematik kendi alanında bu soruya cevap olsun diye gelişmemektedir. Aksi hâlde iş yoksa matematiğin de durması gerekirdi. Ayrıca bunun ne işe yarayacağını onu ortaya koyan da göremeyebilir. Örneğin, Newton “TÜREV”i keşfeder ama Ay’a seyahatte en önemli araç olduğunu göremeden ölür. Kendisine türevin ne işe yaradığı vaktinde sorulsaydı, “Ay’a seyahatte” cevabını veremezdi.

 

Gelelim matematik ve müzik ilişkisine: Orta Çağda eğitim programlarında matematik, müzik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik ilişkisi, günümüzde bilgisayar aracılığı ile devam etmektedir.

 

Bir müzik parçasında ritimler belirli oranlara göre yapılır (4:4’lük, 3:4’lük, 5:8’lik.... gibi).

 

Pisagor ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek müzikte armoni ile tam sayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tam sayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçekten de çekilen tellerin her armonik bileşimi tam sayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15 ‘i si sesi verirken, 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5 ‘i mi sesini; 16/9‘u re sesini verir. (Orhan, [WEB], 2001).

 

Görüldüğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eş değerdir. Bir diğer önemli nokta da insan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki majör 6’lı olduğu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bahsettiğimiz altın orana çok yakın bir oran olduğudur. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır, diyen Leibniz ’in haklılığı ortaya çıkıyor.

 

Müziğin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaştırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu şöyle özetliyor: “İyi bakıldığı zaman matematik sadece doğruyu değil yüksek bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki bazı zayıflıklara başvurmaz, resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz.”

 

Şüphesiz matematiğin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır, diyor ünlü matematikçimiz Cahit Arf. Kompozitörler teorileri kuranlar, virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.

 

2.6. Fraktallar

 

Şimdi de bunları bir kenara bırakıp tamamen farklı bir konuya bakalım: altın oran....

 

Eski Çağlarda ressamlar ve heykeltraşlar ideal insan ölçülerinin nasıl olması gerektiği üzerine kafa yormuşlar. Eski Çağlarda günümüzdeki gibi rastgele yontulmuş heykeller yoktu. Bunun için heykeltraşlar bir ölçü bulmuşlar. İddiaya göre ideal insanın ölçüleri şöyle olmalıymış: Boy uzunluğunun göbekten ayak uçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayak uçlarına olan uzunluğun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşit. Sembolsüz matematik yapmaya alışık olmayan yirmi birinci yüzyıl okuyucusu için bunu cebirsel olarak yazmak gerekirse: ideal insanın boyu a birim olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da b birim olsun. Bu durumda göbeğinden başucuna olan uzaklık da (a-b) birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler denklemini sağlamalıdır.


Burada, dersek denklemini buluruz. Sanırım bu denklem bize daha tanıdık geldi. Bu denklemin bir kökü;ve x= 1.618033988749............olarak bulunur.

Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik ögelerin altın orana göre yerleştirildiğini söyler...

 

Burada altın oranla Fibonacci serileri arasında bir bağlantı olduğunu söylemeden geçmeyelim. Bu ilişki;

Klâsik sanatta çok kullanılan bir altın dikdörtgenin özelliği, kenarlarının birbirine oranının içinden bir kare atılarak elde edilen dikdörtgenin kenarlarının oranına eşit olmasıdır. Kalan dikdörtgen de altın dikdörtgen olduğu için ondan da bir kare atılırsa yine bir altın dikdörtgen kalır. Aşağıdaki şekil altın dikdörtgene bir örnektir.

Matematikçiler bunlara benzer binlerce konu üzerinde araştırma yapmışlar ve çok ilginç buluşlar ortaya koymuşlardır. Birbirinden binlerce kilometre ve yüzlerce yıl uzakta yaşamış bu insanlar ortak bir heyecanı taşımışlar ve aynı maceranın kahramanları olmuşlardır. İşte bu binlerce yıldır süren insanlığın ortak macerasının adıdır matematik.

 

Yazımı, benim çok hoşuma giden şu cümle ile bitirmek istiyorum. Evinin bahçesinde çimlerin üzerine sırt üstü yatmış, bulutlara bakan matematikçiye oğlu pencereden seslenir: “Baba, çok çalıştın, artık içeri gel.” (Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, 1996).


KAYNAKLAR

SERTÖZ, Sinan, “Matematiğin Aydınlık Dünyası” Nurol Matbaacılık, 3. Bs., Ankara, 1996.

HACISALİHOĞLU, H.Milmi, “Geometri Konuşalım”, Ankara, 2001.

ORHAN, Cihan, “Matematik ve Müzik”, Ankara, 2001.

KİNG, P. Jerry, “Matematik Sanatı” Nurol Matbaacılık, Ankara, 1992.


SUMMARY

Mathematics, for many people, means the memorization of some rules and a series of consecutive processes on the basis of these rules. When it comes to mathematics we often recall lessons necessary just to pass the class, lessons causing us to experience endless nightmares . It is a previlige to recognize the exciting and mysterious dimension of mathematics. At the same time, it is not only enables us to be aware of the mathematical structure in our environment and in the nature, but also helps us to understand and feel its relationship with painting, music, sculpture and architecture. Approaching mathematics from this perspective will make things better and instill joie de vivré into everyone and especially into students, and subsequently make life more meaning-laden. In short, mathematics is the shortest and the most certain way to reach the joy of knowledge.

 

 


 

Sitemizin youtube kanalı açılmıştır. konu anlatımı videoları ve çözüm videoları hazırlanmaktadır.Daha fazla Soru çözümümüne ve daha fazla yayın soru çözümlerine ulaşmak için kanala abone olursanız seviniriz.